Parisian Master of Research in Computer Science
Master Parisien de Recherche en Informatique (MPRI)

Algorithmes efficaces en calcul formel (48h, 6 ECTS)

Responsable : F. Chyzak

Objectifs

Le calcul formel (computer algebra ou symbolic computation en anglais) consiste à représenter et manipuler sur ordinateur des objets mathématiques de manière exacte, par opposition au calcul scientifique traditionnel. Les contreparties de telles représentations sont souvent des temps de calculs importants et une explosion de la taille mémoire nécessaire lorsque l'on utilise des algorithmes naïfs. Dans ce cours, nous présentons les algorithmes de base du calcul formel sur les polynômes, séries et matrices qui permettent d'atteindre dans de nombreux cas des bornes de complexité quasi-optimales. Ces algorithmes sont très largement utilisés en pratique dans des logiciels de calcul formel mais aussi dans plusieurs autres domaines algorithmiques modernes reposant sur des techniques algébriques, telles que la cryptographie, cryptanalyse multivariée, et les codes correcteurs d'erreurs.

Dans un deuxième temps nous abordons des thèmes actifs de recherche plus spécialisés, comme la sommation et l'intégration symbolique. Les méthodes de sommation et intégration symbolique que nous présentons ont conduit à des outils de calcul désormais incontournables pour la physique, l'évaluation numérique des fonctions spéciales, la modélisation des problèmes combinatoires, et plus largement pour les questions difficiles de simplification de formules.

Ce cours est particulièrement bien adapté pour comprendre avec rigueur les bases algorithmiques et leurs principes généraux en complément des cours Systèmes polynomiaux, calcul formel et applications (2-13-1), Codes correcteurs d'erreurs et applications à la cryptographie (2-13-2), Techniques en cryptographie et cryptanalyse (2-12-1), Algorithmes arithmétiques pour la cryptologie (2-12-2) et Analyse d'algorithmes (2-15).

Plan du cours et intervenants prévus pour 2019-2020

  • Première période : Algorithmes fondamentaux
  • Deuxième période : Sommation et intégration de suites et fonctions spéciales

Alin Bostan (24h),Frédéric Chyzak (24h)

Cette page contient le programme de l'ensemble du cours et sera modifiée hebdomadairement pour incorporer les divers supports et éventuellement faire évoluer les sujets des séances en fonction de ce qui aura été présenté en cours.

Langues du cours, notation, documents autorisés

Selon la terminologie du MPRI, il s'agit d'un module « French by default », c'est-à-dire que le cours oral est enseigné en français, sauf si au moins un étudiant non francophone préfère l'anglais sans qu'aucun élève francophone n'exige le français. Néanmoins, le livre servant de référence au cours est rédigé totalement en français ; par ailleurs, certains cours, en français à l'oral, seront donnés sur transparents, lesquels seront écrits en anglais. Dans tous les cas, les étudiants sont autorisés à rédiger leurs examens en français ou en anglais.

Sauf pour le cas d'élève choisissant officiellement de ne suivre qu'une moitié du module (cours sécable), la note du cours sera la moyenne des notes obtenues au partiel et à l'examen final. Les documents autorisés aux examens sont le livre du cours et les notes de cours de l'étudiant.

Livre : AECF

Séance 1. 12/09

F. Chyzak

Présentation générale du cours, multiplication rapide. (Chap. 1 et 2)

Séance 2. 19/09

A. Bostan

Algèbre linéaire dense : de Gauss à Strassen. (Chap. 8)

Exercices

Séance 3. 26/09

F. Chyzak

Calculs rapides sur les séries, séries différentiellement finies. (Chap. 3 et 14)

Exercices

Séance 4. 3/10

A. Bostan

Évaluation-interpolation rapide. Pgcd, résultant. (Chap. 5 et 6)

Exercices

ATTENTION : PAS DE SÉANCE LE 10/10 !

Séance 5. 17/10

F. Chyzak

Récurrences linéaires : coefficients constants et fractions rationnelles, coefficients polynomiaux : n-ième terme, n premiers termes. (Chap. 4 et 15)

Exercices

Séance 6. 24/10

A. Bostan

Approximants de Padé et de Padé-Hermite. Matrices creuses. (Chap. 7 et 9)

ATTENTION : PAS DE SÉANCE LE 31/10 !

Séance 7. 7/11

A. Bostan

Matrices structurées. Matrices polynomiales. (Chap. 10 et 11)

Séance 8. 14/11

A. Bostan

Exercices de révision.

ATTENTION : PAS DE SÉANCE LE 21/11 !

EXAMEN SUR LA PREMIÈRE PÉRIODE le 28/11

ATTENTION : PAS DE SÉANCE LE 5/12

Séance 9. 12/12

F. Chyzak

Solutions polynomiales et rationnelles d'équations différentielles linéaires, de récurrences linéaires. (Chap. 16 et 17)

Séance 10. 19/12

F. Chyzak

Séries hypergéométriques, algorithmes de Gosper, de Zeilberger et de Petkovšek. (Chap. 29)

Séance 11. 9/01

F. Chyzak.

Équations fonctionnelles linéaires et polynômes tordus. (Chap. 30)

Séance 12. 16/01

F. Chyzak

Bases de Gröbner pour les fonctions spéciales. (Chap. 23 sec. 2 à 5, 24, 31)

Séance 13. 23/01

F. Chyzak

Intégration et sommation définies par création téléscopique. (Chap. 32)

Séance 14. 30/01

A. Bostan

Calcul formel pour la combinatoire.

Séance 15. 6/02

A. Bostan

Intégration des fractions rationnelles : algorithmes et complexité.

Séance 16. 13/02

A. Bostan

Exercices de révision.

ATTENTION : PAS DE SÉANCE LE 20/02 !

EXAMEN SUR LA DEUXIÈME PÉRIODE le 27/02

Bibliographie

Quelques ouvrages des années 1990 :

  • D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2nd edition, 1996.
  • J. von zur Gathen, J. Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 1999.
  • M. Petkovsek, W. Wilf, D. Zeilberger, A=B, A. K. Peters, 1996.
  • K. O. Geddes, S. R. Czapor, G. Labahn, Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers, 1992.

Et l'ouvrage plus récent issu des années antérieures de ce cours :

  • A. Bostan, F. Chyzak, M. Giusti, R. Lebreton, G. Lecerf, B. Salvy et É. Schost, Algorithmes Efficaces en Calcul Formel. Imprimé par CreateSpace. Palaiseau : F. Chyzak (auto-édit.), 2017. Aussi disponible gratuitement au format électronique. https://hal.archives-ouvertes.fr/AECF/.

Équipe pédagogique

A. BostanCRINRIASaclay
F. ChyzakCRINRIASaclay
 
Universités partenaires Université Paris-Diderot
Université Paris-Saclay
ENS Cachan École polytechnique Télécom ParisTech
ENS
Établissements associés Université Pierre-et-Marie-Curie CNRS INRIA CEA