Algorithmes efficaces en calcul formel (48h, 6 ECTS)

Responsable : F. Chyzak

Le calcul formel (computer algebra ou symbolic computation en anglais) consiste à représenter et manipuler sur ordinateur des objets mathématiques de manière exacte, par opposition au calcul scientifique traditionnel. Les contreparties de telles représentations sont souvent des temps de calculs importants et une explosion de la taille mémoire nécessaire lorsque l'on utilise des algorithmes naïfs. Dans ce cours, nous présentons les algorithmes de base du calcul formel sur les polynômes, séries et matrices qui permettent d'atteindre dans de nombreux cas des bornes de complexité quasi-optimales. Ces algorithmes sont très largement utilisés en pratique dans des logiciels de calcul formel mais aussi dans plusieurs autres domaines algorithmiques modernes reposant sur des techniques algébriques, telles que la cryptographie, cryptanalyse multivariée, et les codes correcteurs d'erreurs.

Dans un deuxième temps nous abordons des thèmes actifs de recherche plus spécialisés, comme la sommation et l'intégration symbolique. Les méthodes de sommation et intégration symbolique que nous présentons ont conduit à des outils de calcul désormais incontournables pour la physique, l'évaluation numérique des fonctions spéciales, la modélisation des problèmes combinatoires, et plus largement pour les questions difficiles de simplification de formules.

Ce cours est particulièrement bien adapté pour comprendre avec rigueur les bases algorithmiques et leurs principes généraux en complément des cours Systèmes polynomiaux, calcul formel et applications (2-13-1), Codes correcteurs d'erreurs et applications à la cryptographie (2-13-2), Techniques en cryptographie et cryptanalyse (2-12-1), Algorithmes arithmétiques pour la cryptologie (2-12-2) et Analyse d'algorithmes (2-15).

• Première période : Algorithmes fondamentaux
• Deuxième période : Sommation et intégration de suites et fonctions spéciales

Alin Bostan (24h),Frédéric Chyzak (24h)

Cette page contient le programme de l'ensemble du cours et sera modifiée hebdomadairement pour incorporer les divers supports et éventuellement faire évoluer les sujets des séances en fonction de ce qui aura été présenté en cours.

Selon la terminologie du MPRI, il s'agit d'un module « French by default », c'est-à-dire que le cours oral est enseigné en français, sauf si au moins un étudiant non francophone préfère l'anglais sans qu'aucun élève francophone n'exige le français. Néanmoins, le livre servant de référence au cours est rédigé totalement en français ; par ailleurs, certains cours, en français à l'oral, seront donnés sur transparents, lesquels seront écrits en anglais. Dans tous les cas, les étudiants sont autorisés à rédiger leurs examens en français ou en anglais.

Sauf pour le cas d'élève choisissant officiellement de ne suivre qu'une moitié du module (cours sécable), la note du cours sera la moyenne des notes obtenues au partiel et à l'examen final. Les documents autorisés aux examens sont le livre du cours et les notes de cours de l'étudiant.

Livre : AECF

Présentation générale du cours, multiplication rapide. (Chap. 1 et 2)

Algèbre linéaire dense : de Gauss à Strassen. (Chap. 8)

Exercices

Calculs rapides sur les séries, séries différentiellement finies. (Chap. 3 et 14)

Exercices

Évaluation-interpolation rapide. Pgcd, résultant. (Chap. 5 et 6)

Exercices

Récurrences linéaires : coefficients constants et fractions rationnelles, coefficients polynomiaux : n-ième terme, n premiers termes. (Chap. 4 et 15)

Exercices

Approximants de Padé et de Padé-Hermite. Matrices creuses. (Chap. 7 et 9)

Matrices structurées. Matrices polynomiales. (Chap. 10 et 11)

Exercices de révision.

Sujet de 2013

Solutions polynomiales et rationnelles d'équations différentielles linéaires, de récurrences linéaires. (Chap. 16 et 17)

Séries hypergéométriques, algorithmes de Gosper, de Zeilberger et de Petkovšek. (Chap. 29)

Équations fonctionnelles linéaires et polynômes tordus. (Chap. 30)

Bases de Gröbner pour les fonctions spéciales. (Chap. 23 sec. 2 à 5, 24, 31)

Intégration et sommation définies par création téléscopique. (Chap. 32)

Calcul formel pour la combinatoire.

Intégration des fractions rationnelles : algorithmes et complexité.

Exercices de révision.

Quelques ouvrages des années 1990 :

• D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2nd edition, 1996.
• J. von zur Gathen, J. Gerhard, Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 1999.
• M. Petkovsek, W. Wilf, D. Zeilberger, A=B, A. K. Peters, 1996.
• K. O. Geddes, S. R. Czapor, G. Labahn, Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers, 1992.

Et l'ouvrage plus récent issu des années antérieures de ce cours :

• A. Bostan, F. Chyzak, M. Giusti, R. Lebreton, G. Lecerf, B. Salvy et É. Schost, Algorithmes Efficaces en Calcul Formel. Imprimé par CreateSpace. Palaiseau : F. Chyzak (auto-édit.), 2017. Aussi disponible gratuitement au format électronique. https://hal.archives-ouvertes.fr/AECF/.